Показ логотипа при запуске приложения

Это очень просто.

Создайте форму и поместите на нее логотип, используя компонент Timage. В моем примере я создал форму с логотипом и именем "logoform". Зайдите в настройки проекта и исключите форму их списка "автосоздаваемых" форм.

Затем в вашем файле PROJECT.DPR где-то сразу после ключевого слова begin напишите примерно следующее:

logoform := TLogoform.Create(nil);
{ ВНИМАНИЕ! show!   НЕ showmodal }
logoform.Show;

{ Здесь может размещаться код инициализации приложения,
  например, открытие базы данных... }

{ После блока кода, создающего все ваши формы и перед
  строчкой Application.Run напишите: }

logoform.Hide;
logoform.Release;

Это будет показывать форму с логотипом до тех пор, пока приложение не выполнит инициализационный код и окончательно не запустится.