[lmikle]

1. Проверь, что папка C:\Logs существует. SaveToFile не создает пути.
2. Проверь, что на папку C:\Logs даны все права, встречался с подобной проблеммой, надо просто тупо дать все права для Everyone.
3. Надо вызывать через Synchronize:

Код:

procedure TSaveThread.SaveLogs;
begin
  Form1.Memo1.PlainText := true;
  Form1.Memo1.Lines.SaveToFile('C:\Logs\Log.txt');
end;

procedure TSaveThread.Execute;
begin
  Synchronize(SaveLogs);
end;