[M.A.D.M.A.N.]

Да вы совсем сдурели, смотрите, есть три точки, по ним можно построить треугольник, длины сторон известны, по ним можно найти угол между катетами, если угол равен pi/2 в первом треугольнике и во втором, то фигура - прямоугольник.
ПРЯ-МО-У-ГОЛЬ-НИК
a² = b² + c² – 2bc cosα

[Bargest]

Имхо 3 сравнения сторон быстрее, чем проверка всех углов или поиск наибольшей стороны и проверка угла напротив нее для двух треугольников.
Стороны же надо сравнивать какие, текущую и ту, которая образована другими двумя точками. И так 3 раза.

[M.A.D.M.A.N.]

Написано же, "С помощью тригонометрических формул" а не арифметикой.

[Bargest]

б) с помощью геометрических формул проверяет

Про тригонометрию ни слова. А вот из геометрии там будет Пифагор.

[M.A.D.M.A.N.]

А если пользователь введет координаты, скажем:
A [0, 1]
B [3, 1]
C [0, 1]
D [3, 1]

[PhoeniX]

Тогда это прямоугольник с нулевой высотой Условия-то выполняются

[chainik]

Для того чтобы утверждать что 4-угольник есть квадрат
необходимо доказать что
1. все стороны равны между собой.
2. все углы-прямые.
Здесь один из авторов предлагает проверить равенство сторон и двух диагоналей.
Действительно, если стороны равны и одновременно равны 2 диагонали- то это квадрат.
Но вспомним, что компбьютер вычисляет длиму отрезка по теореме Пифагора.
Поэтому вместо того чтобы вычислять длины двух диагоналей проще доказать
что угол А-прямой (те 2 смежные стороны и диагональ удовлетворяют теореме Пифагора)
Из того что угол А- прямой и стороны равны автоматически следует что все углы-прямые
и следовательно 4-угольник есть квадрат. Доказателььство этого утверждения
предоставляем читателю.
Итак, введем систему координат с началом в вершине А.
Это не нарушает общности доказательства, тк очень легко перенести координатную
сетку параллельно самой себе. А вот поворачивать оси чтобы ось ОХ совпала с
одной из сторон- не будем ввиду сложности преобразования.

а теперь код

Код:

для сокращения выкладок делаем подстановку
X2^2 + Y2^2=R
В результате очевидных преобразований получаем систему уравнений

R = (X2-X3)^2 + (Y2-Y3)^2
R = (X3-X4)^2 + (Y3-Y4)^2
R = X4^2 + Y4^2
2*R = (X2-Y4)^2 + (Y2-Y4)^2

Теперь вспомним что любые измерения - всегда приближенные. Этот факт был
известен еще древним египтянам. Кроме того и вычисления также производятся
с некоторой точностью. Поэтому сравнивать на равенство нельзя и мы должны
смириться с тем что доказать что 4- угольник есть квадрат мы можем только
с некоторой погрешностью. Обозначим ее Epsilon.
Итак, перенеся все в левую часть получаем

Код:

if (abs(R - (X2-X3)^2 - (Y2-Y3)^2) <=Epsilon) and
(abs(R - (X3-X4)^2 - (Y3-Y4)^2) <=Epsilon) and
(abs(R - X4^2 - Y4^2) <=Epsilon) and
(abs(2*R - (X2-Y4)^2 - (Y2-Y4)^2) <=Epsilon) then
    ShowMessage('Квадрат');

Для прямоугольника все то же самое только надо сравнивать длины противоположных сторон попарно.
И между прочим есть непростой момент. А что будет если перепутать последовательность вершин? Тогда мы получим вообще
странную фигуру с пересекающимися сторонами. Не знаю как точно сформулировано задание. Но можно подумать и над этим..

[Страдалецъ]

Мдааа... Ну вы блин даете