[Nyctos Kasignete]

Можно обойтись без строк.

Код:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  Number: Cardinal;
  ZeroCount: Byte;
begin
  Number := StrToInt(Edit1.Text);
  ZeroCount := 0;
  while (Number mod 10 = 0) do
  begin
    Number := Number div 10;
    Inc(ZeroCount);
  end;

  ShowMessage(IntToStr(ZeroCount) + ' terminal zero(s) present!'); 
end;