[lmikle]

Тут сразу несколько ошибок:
1. Если это юникодная Дельфи, то нет такой функции CopyFile(PAnsiChar,PWideChar,boolean). Надо использовать либо везде PAnsiChar либо везде PWideChar (который просто PChar по умолчанию).
2. Надеюсь файлы с полным путем в ListBox1?
3. Функция CopyFile копирует ФАЙЛ. Т.е. ей надо сформировать полное имя файла назначения, походу эта функция не поддерживает автоматическое именование при копировании в папку.

Вот пример с выводом отладочной информации (в дополнение к твоим компонентам брось еще TMemo на форму):

Код:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
 I : Integer;
 tgtDir : String;
 fileName : String;
 tgtFileName : String;
 ErrCode : Cardinal;
begin
  Memo1.Lines.Clear;
  Memo1.Lines.Add('Start coping');
  tgtDir := IncludeTrailingPathDelimiter(DirectoryListBox1.Directory);
  Memo1.Lines.Add('Target directory: ' + tgtDir);
  Memo1.Lines.Add('');

  For I := 0 To ListBox1.Items.Count-1 Do
    Begin
      fileName := ListBox1.Items[i];
      If Not FileExists(fileName)
        Then Memo1.Lines.Add(Format('File "%s" does not exist',[fileName]))
        Else
          Begin
            tgtFileName := tgtDir +  ExtractFileName(fileName);
            Memo1.Lines.Add(Format('Coping "%s" to "%s"...',[fileName,tgtFileName]));
            If CopyFile(PChar(fileName),PChar(tgtFileName),false)
              Then Memo1.Lines.Add('Done')
              Else
                Begin
                  ErrCode := GetLastError;
                  Memo1.Lines.Add(Format('FAILED! Error code is %d',[ErrCode]));
                End;
          End;
      Memo1.Lines.Add('');
    End;
end;