[Alegun]

У компонента-донора текста (у меня это были эдиты) свойство DragMode должно быть выставлено в dmAutomatic

Код:

procedure TForm1.StringGrid1DragOver(Sender, Source: TObject; X,
  Y: Integer; State: TDragState; var Accept: Boolean);
begin
 Accept:= true;
end;

procedure TForm1.StringGrid1DragDrop(Sender, Source: TObject; X,
  Y: Integer);
  var
  ACol, ARow: Integer;
  begin
  StringGrid1.MouseToCell( X, Y, ACol, ARow);
  StringGrid1.Cells[ Acol, Arow] := (Source as TEdit).Text;
end;