[serbius]

в Uses добавьте DateUtils.

Код:

procedure TForm1.MonthCalendar1Click(Sender: TObject);
var day:integer;
begin
  // получаете выбранный день
  day := DayOf(MonthCalendar1.Date);

  // отправляем, например, на сервер [бд]
  //IdHttp.post

  // если вернул, например, yes, то добавляем в memo
  // memo1.lines.add(inttostr(day));
end;

если чего, распишу.