[angvelem]

MouseDown - выделяем нужный участок.
MouseUp - копируем выделенный RECT в буфер.

Код:

function CaptureScreenRect(ARect: TRect): TBitmap;
var
  ScreenDC: HDC;
begin
  Result := TBitmap.Create;
  with Result, ARect do
  begin
    Width := Right - Left;
    Height := Bottom - Top;
    ScreenDC := GetDC(0);
    try
      BitBlt( Canvas.Handle, 0, 0, Width, Height, ScreenDC, Left, Top, SRCCOPY);
    finally
      ReleaseDC(0, ScreenDC);
    end;
  end;
end;

Входной параметр то, что было выделено мышкой.