Сделай
глобальную переменную, и увеличивай ее при каждом нажатии, к строкам обращайся через нее.
Код:
var CurrentLine: Integer = 0;
...
if CurrentLine>=Memo1.Lines.Count then
begin
ShowMessage('Строчки кончились!');
Exit;
end;
si:=Memo1.Lines[CurrentLine];
inc(CurrentLine);