[v1s2222]

Код:

var
  i: integer;
  s, buf: string;
  b: Boolean;
label x;
begin
b := false;
s:='';
... (assign, reset и т.д.)
while(not(EOF(F)) do begin
  ReadLn(F, buf);
  for i:=1 to length(buf) do begin
    if(buf[i] = 'А') then
      b:=true;
    if(b) then
      S:=S+buf[i];
    if(buf[i] = 'Б') then
      goto x;
  end;
end;
x:
  showmessage(s);

Есть ошибки. Это просто пример для понимания, читаем пока не конец файла строки, и бегаем циклами по каждой из прочитанных строк. Если встречается буква "А", то начинаем все записывать в переменную, если "Б" - переходим на метку.