Если ты хочешь работать именно с мемо, то можно так:
Код:
if(FileExists(имя файла.txt)) then begin
MemoBufer.Lines.LoadFromFile(имя файла.txt);
MemoBufer.Lines.Add(Memo1.Text);
MemoBufer.Lines.SaveToFile(имя файла.txt);
end;
То бишь тут используется еще одно мемо, и если файл уже есть, то в новое мемо этот файл загружается, после чего идет добавления в это же мемо нового текста, и сохранение в тот же файл.
ЗЫ "имя файла.txt" это и есть имя файла, пример: "'log\log'+'['+DateToStr(Date)+']'+'.txt'".