[Страдалецъ]

Да просто уберите преобразование из числа в строку и всех делов.

Код:

if StrToInt(edit1.Text)<StrToInt(edit2.Text)+StrToInt(edit3.Text)
 then begin
      if StrToInt(edit2.text)<StrToInt(edit1.Text)+StrToInt(edit3.Text)
      then begin
           if StrToInt(edit3.text)<StrToInt(edit2.Text)+StrToInt(edit1.Text)
           then Label1.Caption:='Треугольник существует'
           else Label1.Caption:='Треугольник не существует';
           end
      else Label1.Caption:='Треугольник не существует';
      end
 else Label1.Caption:='Треугольник не существует';

Но учтите, что тип Integer который вы используете в расчетах, тоже не бесконечен, у него ограничение в диапазоне -2147483648..2147483647