[AlexSku]

1). Для PaintBox рисование обычно пишется в OnPaint.
2). Непонятно, для чего диалог открытия, т.к. берётся готовое имя. Я немного подправил:

Код:

var bmp:TBitmap;

procedure TForm1.btnLoadClick(Sender: TObject);
begin
  OpenDialog1.Title := 'Відкрити файл...';
  if (OpenDialog1.Execute) then
    begin
      bmp:=TBitmap.create;
      bmp.loadfromfile(OpenDialog1.FileName);
      paintbox1.width:=bmp.width;
      paintbox1.height:=bmp.height;
    end;
end;

procedure TForm1.btnSaveClick(Sender: TObject);
begin
  SaveDialog1.Title:=' Зберегти файл як...';
  if SaveDialog1.Execute then
    try
      bmp.SaveToFile(SaveDialog1.Filename);
    finally
    end;
end;

procedure TForm1.PaintBox1Paint(Sender: TObject);
begin
  paintbox1.canvas.draw(0,0,bmp);
end;