Строка S должна быть глобальной переменной или атрибутом объекта формы. Вот обработчик нажатия на кнопку:
Код:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
S := S + ' ' + Edit1.Text;
Edit1.Text := ''; // эту строку хотите добавляйте, хотите — нет
end;
Как же вы кодите без таких элементарных знаний? O_o