Спасибо всем!
В принципе сам разобрался.
Код:
var str : TMemoryStream;
begin
str := TMemoryStream.Create;
IdHTTP1.Get(Edit1.Text, str);
str.SaveToFile(GetCurrentDir+'\files\'+Edit2.Text);
Application.MessageBox('Закачка завершена!', 'ОК', MB_ICONINFORMATION + MB_OK);