[Aristarh Dark]

Советую почитать что-нибудь по SQL.
Зачем искать вхождение фамилии в полях fam и name, я полагаю искать нужно только в fam. Поэтому код должен выглядеть примерно так:

Код:

procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);
var
 f:string;
begin
 f:=inputbox('Поиск по БД','Введите фамилию человека','');
if f <> '' then
  begin
  with Form1.Query1 do begin
  Close;
    SQL.Clear;
    SQL.Add('SELECT Number');
    SQL.Add('FROM MobNomera');
    SQL.Add(Format('WHERE fam LIKE %s',[QuotedStr('%'+f+'%')]));
  Open;
    if Form1.Query1.RecordCount>0 then
    ShowMessage(Form1.Query1.Fields[0].AsString);
    end;
  end;
end;