Например по клику на кнопке (находится на первой форме):
Код:
form1.hide; //скрываем первую
form2.showmodal; // показываем 2 форму
модуль второй формы нужно добавить в список модулей. впрочем делфи спросит при компиляции, ответить да.
Остальное думаю сделаете сами.
p.s. Вы сказали что первая форма должна закрыться, я поправлю вас. если закрыть первую форму то все приложение завершит свою работу. Первую форму нужно скрыть, процедурой hide.