И не должно. В Вашем исполнении полю Text присваивается значение тому, кто вызвал этот метод (Sender). В свою очередь, этот метод вызван менюитемом N3 (Sender=N3).
Чтобы решить Вашу задачу, достаточно посмотреть на свойство PopupMenu.PopupComponent:
Код:
procedure TForm1.N3Click(Sender: TObject);
begin
if PopupMenu1.PopupComponent is TEdit then
TEdit(PopupMenu1.PopupComponent).Text := 'test';
end;