[Rosenkrantz]

Сделайте форму приемником файлов.
Форма должна обрабатывать сообщение WM_DROPFILES.
В этой процедуре определяете имена файлов с помощью функции DropQueryFiles и делаете с ними что хотите.
По окончании работы с формой запрещаем перетаскивание на нее файлов.

В этом примере имена перетащенных файлов помещаются в Memo:

Код:

unit Unit1;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
  Dialogs, StdCtrls;

type
  TForm1 = class(TForm)
    Memo1: TMemo;
    procedure FormCreate(Sender: TObject);
    procedure FormDestroy(Sender: TObject);
  private
    { Private declarations }
    procedure WMDROPFILES(var Msg: TMessage); message WM_DROPFILES;
  public
    { Public declarations }
  end;

var
  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

Uses
  ShellAPI;

procedure TForm1.WMDROPFILES(var Msg: TMessage);
var 
  Filename : Array [0 .. 256] of Char;
  Count, i : Integer;
  P        : TPoint;
begin
  // Число перетаскиваемых файлов
  Count := DragQueryFile(Msg.WParam, $FFFFFFFF, Filename, SizeOf(Filename));
  Memo1.Clear;
  for i := 0 to Count - 1 do begin
    // Запрос имени файла
    DragQueryFile(Msg.WParam, i, Filename, SizeOf(Filename));
    Memo1.Lines.Add(Filename);
  end;
  // Заканчиваем перетаскивание
  DragFinish(Msg.WParam);
end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
  DragAcceptFiles(Handle, True);
end;

procedure TForm1.FormDestroy(Sender: TObject);
begin
  DragAcceptFiles(Handle, False);
end;

end.