[Alegun]

Говорят надо делать так

Код:

var
MessPart: TIdMessagePart;
AttachFile: string;
AFileStream: TFileStream;
...
..
.
// Перебираем все части письма
for i := 0 to mMessege.MessageParts.Count-1 do 
 begin  
  MessPart:= mMessege.MessageParts[i];
  if MessPart.PartType = mptText then
  begin 
  // Если это текстовая часть извлекаем текст и помещаем его в TMemo
    Memo1.Lines.Add('Текстовая часть: ' + TIdText(MessPart).Body.Text);
  end else 
   begin 
  // Если это файловое вложение (PartType=mptAttachment)
  // Запоминаем имя файла
    AttachFile:= TIdAttachment(MessPart).FileName;

    // Содержимое файлового вложения будем сохранять в TFileStream
    // Предполагается, что объект создан где-то заранее
    // В качестве имени файла может использоваться AttachFile
 
   TIdAttachment(MessPart).SaveToStream(AFileStream);
  end;
end;