[Snake22]

добавь после строки
var
Form1: TForm1;
флаг который будет меняться если сообщение показалось

Код:

var
 Form1: TForm1;
 showed:boolean:=false;

и измени код в Timer1Timer

Код:

if processExists('game.exe') then
   begin
   if not(showed) then
      begin
	ShowMessage('Процесс запущен');
	showed:=true;
      end;
   end
   else if showed 
         then showed:=false;

код на работоспособность не проверял)