[AlexSku]

Я бы вместо Edit взял ComboBox, т.к. он как раз и выдаёт подсказки. Итак, берём ComboBox и очищаем свойство Text (или в FormCreate можно написать Combobox1.Text:= ''; )

Код:

const
  myFile: string = '1.txt';

procedure TForm1.FormClose(Sender: TObject; var Action: TCloseAction);
begin
  ComboBox1.Items.Add(ComboBox1.Text);
  ComboBox1.Items.SaveToFile(
    ExtractFilePath(Application.ExeName) + myFile);
end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
  if FileExists(myFile) then
    ComboBox1.Items.LoadFromFile(myFile);
end;